问等比数列公式总结

【等比数列公式总结】等比数列是数学中一种重要的数列形式，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。掌握等比数列的基本公式和性质，有助于我们更高效地解决相关问题。以下是对等比数列常见公式的全面总结。

一、基本概念

- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。

- 公比：通常用 $ q $ 表示，即相邻两项的比值。

- 首项：用 $ a_1 $ 或 $ a $ 表示。

二、等比数列的通项公式

等比数列的第 $ n $ 项可以用以下公式表示：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

其中：

- $ a_n $：第 $ n $ 项；

- $ a_1 $：首项；

- $ q $：公比；

- $ n $：项数。

三、等比数列的求和公式

等比数列的前 $ n $ 项和 $ S_n $ 可以根据公比 $ q $ 的不同情况进行计算：

注意：当 $ q = 1 $ 时，所有项都相等，因此总和就是首项乘以项数。

四、无穷等比数列的和（当 $ q < 1 $）

当公比的绝对值小于1时，无穷等比数列的和可以收敛为一个有限值：

$$

S = \frac{a_1}{1 - q}

$$

五、等比数列的性质

1. 等比中项：若三个数 $ a, b, c $ 成等比数列，则有 $ b^2 = a \cdot c $。

2. 连续项关系：若 $ a_m $ 和 $ a_n $ 是等比数列中的两项，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $，其中 $ m + n = p + q $。

3. 指数增长：等比数列具有指数增长或衰减的特点，取决于公比 $ q $ 的大小。

六、表格总结

七、应用举例

例如，已知等比数列首项为 2，公比为 3，求第 5 项及前 5 项的和：

- 第 5 项：

$$

a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162

$$

- 前 5 项和：

$$

S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242

$$

通过以上内容，我们可以系统地掌握等比数列的相关公式与应用方法，提升在实际问题中的解题能力。