【行列式展开公式】行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于矩阵理论、解方程组、几何变换等领域。行列式的计算方法中，行列式展开公式（也称为拉普拉斯展开）是一种基础而重要的方法，尤其在处理高阶行列式时具有重要作用。
一、行列式展开公式的定义
行列式展开公式是指：对于一个n阶行列式D，可以选择某一行或某一列进行展开，将该行列式表示为若干个低阶行列式的线性组合。具体来说，如果选择第i行进行展开，则有：
$$
D = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij}
$$
其中，$a_{ij}$ 是原行列式中第i行第j列的元素，$A_{ij}$ 是该元素对应的代数余子式，其定义为：
$$
A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中 $M_{ij}$ 是去掉第i行第j列后的(n-1)阶行列式，称为余子式。
二、行列式展开公式的应用
行列式展开公式适用于以下情况：
- 当行列式中存在较多零元素时，选择含有更多零的行或列进行展开可以简化计算；
- 在计算高阶行列式时，通过逐步展开，可将其转化为低阶行列式的计算；
- 在理论推导中，用于证明行列式的性质和定理。
三、行列式展开公式示例
以3阶行列式为例：
$$
D =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
$$
若选择第一行展开，则有：
$$
D = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13}
$$
其中：
- $A_{11} = (+1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$
- $A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$
- $A_{13} = (+1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$
四、行列式展开公式的总结表格
| 展开方式 | 公式表达 | 说明 |
| 按第i行展开 | $ D = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij} $ | 选择任意一行进行展开 |
| 按第j列展开 | $ D = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \cdot A_{ij} $ | 选择任意一列进行展开 |
| 代数余子式 | $ A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} $ | 包含符号与余子式 |
| 余子式 | $ M_{ij} = \text{去掉第i行第j列后的行列式} $ | 低阶行列式 |
五、注意事项
- 展开时需注意符号的正负，由 $(-1)^{i+j}$ 决定；
- 若某行或列中存在大量0元素，应优先选择该行或列进行展开；
- 高阶行列式展开计算量较大，实际应用中常结合行变换简化运算。
通过合理运用行列式展开公式，可以高效地计算行列式的值，并为进一步的线性代数分析打下坚实基础。