【切比雪夫多项式公式】切比雪夫多项式是一类在数学、工程和物理中广泛应用的正交多项式。它们由俄罗斯数学家帕夫努季·切比雪夫（Pafnuty Chebyshev）提出，具有良好的数值稳定性，常用于逼近理论、信号处理和数值积分等领域。
一、切比雪夫多项式的定义
切比雪夫多项式通常分为两类：第一类和第二类。它们分别记为 $ T_n(x) $ 和 $ U_n(x) $，其中 $ n $ 是非负整数，表示多项式的次数。
1. 第一类切比雪夫多项式 $ T_n(x) $
第一类切比雪夫多项式可以通过以下方式定义：
- 递推公式：
$$
T_0(x) = 1 \\
T_1(x) = x \\
T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)
$$
- 三角函数表达式：
$$
T_n(x) = \cos(n\theta), \quad \text{其中 } x = \cos\theta
$$
2. 第二类切比雪夫多项式 $ U_n(x) $
第二类切比雪夫多项式同样通过递推关系定义：
- 递推公式：
$$
U_0(x) = 1 \\
U_1(x) = 2x \\
U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)
$$
- 三角函数表达式：
$$
U_n(x) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}, \quad \text{其中 } x = \cos\theta
$$
二、切比雪夫多项式的性质
| 特性 | 描述 |
| 正交性 | 在区间 $[-1, 1]$ 上，$ T_n(x) $ 与 $ T_m(x) $ 关于权函数 $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ 正交 |
| 极值特性 | 在区间 $[-1, 1]$ 内，$ T_n(x) $ 的最大绝对值为 1，且在该区间内有 $ n $ 个极值点 |
| 根的分布 | $ T_n(x) $ 的根是 $ \cos\left(\frac{(2k - 1)\pi}{2n}\right) $，对 $ k = 1, 2, ..., n $ |
| 最小偏差 | 在所有首项系数为 $ 2^{n-1} $ 的 $ n $ 次多项式中，$ T_n(x) $ 在 $[-1, 1]$ 上的偏差最小 |
三、常见切比雪夫多项式示例
| 次数 $ n $ | 第一类 $ T_n(x) $ | 第二类 $ U_n(x) $ |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | $ x $ | $ 2x $ |
| 2 | $ 2x^2 - 1 $ | $ 4x^2 - 1 $ |
| 3 | $ 4x^3 - 3x $ | $ 8x^3 - 4x $ |
| 4 | $ 8x^4 - 8x^2 + 1 $ | $ 16x^4 - 12x^2 + 1 $ |
四、应用领域
- 数值分析：用于插值和逼近，减少龙格现象。
- 信号处理：设计滤波器时常用切比雪夫多项式构造频率响应。
- 微分方程：作为解的基函数，特别是在边界条件较复杂的情况下。
- 优化问题：在最小化最大误差方面具有优势。
五、总结
切比雪夫多项式是一类重要的正交多项式，具有简洁的递推形式和优良的数值性质。它们在多个科学和工程领域中发挥着重要作用，尤其是在逼近理论和数值计算中。掌握其基本公式和性质，有助于更高效地解决实际问题。