【勾股数的定义】勾股数，又称毕达哥拉斯三元组（Pythagorean Triple），是指满足勾股定理的三个正整数。即存在三个正整数 $ a $、$ b $、$ c $，使得 $ a^2 + b^2 = c^2 $。这些数在数学中具有重要的几何和代数意义，广泛应用于几何学、数论以及实际问题的解决中。
勾股数可以分为“原始勾股数”和“非原始勾股数”。原始勾股数指的是三个数之间互质（即最大公约数为1）的勾股数，而非原始勾股数则是可以通过乘以某个正整数得到的原始勾股数的倍数。
以下是一些常见的勾股数示例及其分类：
| 勾股数 (a, b, c) | 是否原始勾股数 | 说明 |
| (3, 4, 5) | 是 | 最小的原始勾股数 |
| (5, 12, 13) | 是 | 一个经典的勾股数 |
| (6, 8, 10) | 否 | 是 (3, 4, 5) 的两倍 |
| (7, 24, 25) | 是 | 常见的原始勾股数 |
| (8, 15, 17) | 是 | 用于三角形计算 |
| (9, 12, 15) | 否 | 是 (3, 4, 5) 的三倍 |
| (11, 60, 61) | 是 | 较大的原始勾股数 |
勾股数的生成方法有多种，其中一种是使用公式：
对于任意两个正整数 $ m > n $，设 $ a = m^2 - n^2 $，$ b = 2mn $，$ c = m^2 + n^2 $，则 $ (a, b, c) $ 构成一组勾股数。若 $ m $ 和 $ n $ 互质且一奇一偶，则可生成原始勾股数。
了解勾股数不仅有助于理解直角三角形的性质，还对数学思维的培养和实际应用有重要意义。